W tym artykule omówimy, czym jest baza ortonormalna macierzy i jak je znaleźć w MATLABIE za pomocą orth() funkcjonować.
Jakie są podstawy ortonormalne macierzy
W algebrze liniowej tzw baza ortonormalna przestrzeni wektorowej V o skończonym wymiarze są podstawą wektory ortonormalne gdzie wektory ortonormalne są wektorami jednostkowymi, które są do siebie ortogonalne, czyli ich iloczyn skalarny wynosi zero.
Rozważmy wektory dwujednostkowe x i y, będą one do siebie ortogonalne, jeśli „x.y=0” . Te dwa wektory są również nazywane wektory ortonormalne .
Dlaczego musimy obliczyć podstawę ortonormalną
Baza ortonormalna jest przydatny do znalezienia rzutu wektora na inny wektor lub znalezienia odległości między dwoma wektorami. Możemy także użyć baza ortonormalna aby zmniejszyć błąd zaokrąglenia w naszych symulacjach, a jedynym powodem tego jest to, że wektory w bazie ortonormalnej są od siebie niezależne, a zatem błąd w jednym wektorze nie może propagować się do innych wektorów. Co więcej, znalezienie współrzędnych i wykonanie transformacji liniowej jest znacznie łatwiejsze, jeśli nasza baza jest ortonormalna.
Jak znaleźć podstawę ortonormalną macierzy w MATLABIE?
W MATLAB-ie możemy znaleźć baza ortonormalna za pomocą wbudowanego orth() funkcję odpowiedzialną za określenie baza ortonormalna danej matrycy. Ta funkcja przyjmuje macierz jako obowiązkowy parametr i udostępnia macierz jako wynik zawierający baza ortonormalna danej macierzy wejściowej.
Składnia
The orth() funkcję można zaimplementować w MATLABIE za pomocą następujących składni:
Q = ort ( A, tol )
Tutaj,
- Funkcja Q = orth(A) jest odpowiedzialny za ustalenie baza ortonormalna dla zakresu A, gdzie kolumny macierzy wyjściowej Q reprezentują baza ortonormalna macierzy A i spamują zakres macierzy A. Ponadto ranga A jest równa liczbie kolumn Q.
- Funkcja Q = orth(A,tol) jest odpowiedzialny za ustalenie baza ortonormalna dla zakresu A określającego tolerancję. Wartości osobliwe macierzy wejściowej A, które są mniejsze niż tolerancja, są traktowane jako zero poprzez wpływ na liczbę kolumn Q.
Przykład 1: Jak znaleźć podstawę ortonormalną macierzy pełnego rzędu w MATLABIE?
Ten kod MATLAB-a określa baza ortonormalna danej macierzy kwadratowej A o rozmiarze n=3 przy użyciu orth() funkcjonować. Kod ten pozwala również znaleźć rząd macierzy A za pomocą ranga() funkcja sprawdzająca, czy macierz wejściowa ma pełny ranking.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = ranga ( A )
Q = ort ( A )
Przykład 2: Jak obliczyć podstawę ortonormalną macierzy z niedoborem rang w MATLABIE?
W tym przykładzie używamy orth() funkcja, aby znaleźć baza ortonormalna danej macierzy A o braku rangi. Macierz A ma brak rangi, ponieważ ranga(K)
r = ranga ( A )
Q = ort ( A )
Przykład 3: Jak znaleźć bazę ortonormalną macierzy pełnego rzędu poprzez określenie tolerancji w MATLABIE?
Podany przykład oblicza baza ortonormalna danej pełnorzędnej macierzy kwadratowej A o rozmiarze n=3 używając orth() funkcja z domyślną tolerancją. Ponieważ A jest macierzą pełnego rangi, wielkość A i Q (podstawa ortogonalna) jest takie samo, czyli w tym przypadku 3×3. Następnie przykład oblicza baza ortonormalna A poprzez określenie wartości tolerancji 0,5, aby uwzględnić wartości A mniejsze niż 0,5 jako wartości osobliwe. Istnieją trzy wartości osobliwe w A, więc A ma dwa ortonormalne wektory kolumnowe zawarte w Qtol matryca.
A = rand ( 3 ) ;r = ranga ( A )
Q = ort ( A )
Q_tol = ort ( A, 0,5 )
Wniosek
Znalezienie baza ortonormalna przestrzeni wektorowej jest ważnym pojęciem algebry liniowej, która jest skomplikowanym problemem matematycznym. Można go jednak rozwiązać łatwo i skutecznie, korzystając z wbudowanych rozwiązań MATLAB-a orth() funkcjonować. W artykule przedstawiono implementację tej funkcji przy użyciu różnych składni i przykładów.